C02_P1 : Modélisation et analyse temporelle des SLCI

Un système du second ordre en régime pseudo-périodique (oscillant) possède une fonction de transfert de la forme : \(H(p)=\frac K {1+\frac{2\xi}{\omega_0}.p+\frac{p^2}{\omega_0^2}}\) avec \(\xi<1\).

La réponse à un échelon d'amplitude \(E_0\) d'un tel système a l'allure suivante :

• Le gain statique K peut être déterminé en relevant la valeur finale : \(\boxed{K = \frac {s(\infty)} {E_0}}\)

• Le coefficient d'amortissement \(\xi\) peut être déterminé en relevant le premier dépassement : \(D_1=K.E_0.\text e ^{-\frac {\xi.\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\) ou de préférence avec le premier dépassement relatif : \(D_{r,1}=\frac{D_1}{s(\infty)}=\text e ^{-\frac {\xi.\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}\).

  En effet, connaissant \(D_{r,1}\), il vient : \(\boxed{\xi=\sqrt{\frac {(\ln D_{r,1})^2}{\pi^2+(\ln D_{r,1})^2}}}\)

• La pulsation propre du système non amorti \(\omega_0\) peut être déterminée en relevant la pseudo-période \(T_a\) ou bien le temps de premier dépassement \(t_1\) (avec \(t_1 = \frac {T_a} 2\)) :

  \(T_a=\frac{2\pi}{\omega_a}=\frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\xi^2}}\) donc \(\boxed{\omega_0=\frac{2\pi}{T_a\sqrt{1-\xi^2}}}\) ou encore \(\boxed{\omega_0=\frac{\pi}{t_1\sqrt{1-\xi^2}}}\)

  La pulsation propre peut aussi être déterminée grâce à l'abaque des temps de réponse à 5% réduits. Il convient de relever \(t_{5\%}\) expérimentalement et de connaître \(\xi\).

Une fois les caractéristiques déterminées, il convient de tracer la réponse théorique et de la comparer à la courbe expérimentale afin de valider le modèle choisi.