C02_P1 : Modélisation et analyse temporelle des SLCI

Un système du second ordre en régime apériodique (sans dépassement) possède une fonction de transfert pouvant se mettre sous la forme :

\(H(p)=\frac {K}{(1+\tau_1.p)(1+\tau_2.p)}\) avec \(\tau_1=-\frac 1 {p_1}=\frac 1 {\omega_0 . \xi +\omega_0 .\sqrt{\xi^2-1}}\) et \(\tau_2=-\frac 1 {p_2}=\frac 1 {\omega_0 . \xi -\omega_0 .\sqrt{\xi^2-1}}\)

La réponse à un échelon d'amplitude \(E_0\) d'un système du second ordre apériodique a l'allure suivante :

• Le gain statique K peut être déterminé en relevant la valeur finale : \(\boxed{K = \frac {s(\infty)} {E_0}}\)

• Les constantes de temps τ₁ et τ₂peuvent être déterminées de manière approchée grâce à la méthode de la tangente au point d'inflexion (cette courbe possède un et un seul point d'inflexion) :

  Les intersections de cette tangente avec l'axe des abscisses et l'asymptote finale donnent \(\tau_1\) et \((\tau_1 + \tau_2)\).

  Cette méthode fonctionne bien lorsque \(\tau_1\) et \(\tau_2\) sont suffisamment éloignés.

  Lorsque \(\tau_1 \ll \tau_2\) (\(\xi\) grand), le comportement du système peut être approximé par un 1^er ordre de constante de temps \(\tau_2\) , retardé d'une durée \(\tau_1\) . On a alors : \(\tau_2=\frac {2 \xi}{\omega_0}\)

Une fois les caractéristiques déterminées, il convient encore une fois de tracer la réponse théorique et de la comparer à la courbe expérimentale afin de valider le modèle choisi.