Annexe 3 : Décomposition en éléments simples

Attention

Ce qui suit n'est pas un cours de mathématique complet sur la décomposition des fractions rationnelles. Il s'agit simplement de quelques propriétés utiles dans le cadre des transformations de Laplace. Les démonstrations ne sont ni triviales, ni difficiles, ni intéressantes en S.I.

Les fractions rationnelles que nous étudions sont de la forme \(F(p)=\frac {N(p)}{D(p)}\) où :

  • \(N(p)\) et \(D(p)\) sont des polynômes. Le degré de \(N(p)\) est toujours inférieur ou égal à celui de \(D(p)\).

  • On appelle zéros d'une fraction rationnelle les racines du numérateur \(N(p)\) .

  • On appelle pôles d'une fraction rationnelle les racines du dénominateur \(D(p)\).

Cas 1 : les pôles sont réels et simples (pas de racine double de D(p))

La fraction peut alors s'écrire : \(F(p)=\frac {N(p)}{(p-p_1)(p-p_2)...(p-p_n)} \quad(\#)\)

Fondamental

La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :

\[F(p)=\frac {A_1}{(p-p_1)}+\frac {A_2}{(p-p_2)}+...+\frac {A_{n}}{(p-p_{n})} \quad \text{ avec les résidus }A_i \in \mathbb R\]

La détermination d'un résidu \(A_i\) s'effectue en multipliant l'expression de \(F(p)\) (fraction rationnelle sous la forme \(\#\)) par le terme \((p-p_i)\) et en posant \(p=p_i\) :

\[\boxed{ \,\, A_i=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_i)\right]_{p=p_i} \, }\]

Exemple

Décomposons en éléments simples la fraction suivante : \(F(p)= \frac {4.p+2}{3p^2-12p+9}\)

Le polynôme \(3p^2-12p+9\) admet deux racines réelles : \(1\) et \(3\).

Il peut donc se factoriser sous la forme : \(3p^2-12p+9 =3(p-1)(p-3)\)

On cherche donc à décomposer \(F(p)\) sous la forme : \(F(p)=\frac {4.p+2}{3(p-1)(p-3)} = \frac {A}{p-1}+\frac {B}{p-3}\)

Recherche des résidus \(A\) et \(B\) :\( \left \{\begin{array}{l} A =\left[ F(p) \times (p-1)\right]_{p=1} = \left[ \frac {4p+2} {3(p-3)} \right]_{p=1} = -1\\ B=\left[ F(p) \times (p-3)\right]_{p=3} = \left[ \frac {4p+2} {3(p-1)} \right]_{p=3} = \frac 7 3\\ \end{array} \right .\)

Conclusion : \(\boxed{ \; F(p) = \frac {7}{3(p-3)}-\frac {1}{p-1} \;}\)

Cas 2 : il existe un pôle double (= racine double de D(p)), ici p1

La fraction peut alors s'écrire : \(F(p)=\frac {N(p)}{(p-p_1)^2(p-p_2)...(p-p_n)}\quad (*)\)

Fondamental

La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :

\[F(p)=\frac {A_0}{(p-p_1)}+\frac {A_1}{(p-p_1)^2} +\frac {A_2}{(p-p_2)}+...+\frac {A_{n-1}}{(p-p_{n-1})} \quad \text{ avec les résidus }A_i \in \mathbb R\]

  1. La détermination des résidus \(A_i\) correspondant à des pôles simples (tous sauf \(A_0\) et \(A_1\)} s'effectue en utilisant la méthode présentée précédemment.

  2. Pour déterminer \(A_1\), on multiplie l'expression de \(F(p)\) (fraction rationnelle sous la forme \(*\) ) par le terme \((p-p_1)^2\) et on pose \(p=p_1\) :

  3. Pour déterminer \(A_0\), on multiplie les deux expressions de \(F(p)\) (fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) par \(p\) et on fait tendre \(p\) vers \(+\infty\).

\[\boxed{ \,\, \forall i\geq 2, \,A_i=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_i)\right]_{p=p_i} \, } \quad \boxed{ \,\, A_1=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_1)^2\right]_{p=p_1} \, } \quad \]
\[\boxed{ \,\, A_0+A_2+...+A_{n-1}=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }\left[ p.\frac {N(p)} {D(p)} \right] \, } \quad\]

Exemple

Décomposons en éléments simples la fraction suivante : \(F(p)= \frac {p+2}{(p-2)^2(p-3)}\)

\(F(p)\) possède donc un pôle réel simple (\(=3\)) et un pôle double (\(=2\))

On cherche donc à décomposer \(F(p)\) sous la forme : \(\frac {p+2}{(p-2)^2(p-3)} = \frac {A}{p-2}+ \frac {B}{(p-2)^2}+\frac {C}{p-3}\) avec :

  • \(C\) se détermine avec la méthode vue précédemment :

\(C =\left[ F(p) \times (p-3)\right]_{p=3} = \left[ \frac {p+2} {(p-2)^2} \right]_{p=3} =5\)

  • Pour trouver \(B\), on multiplie l'expression de \(F(p)\) par le terme \((p-2)^2\) et on pose \(p=2\) :

\(B =\left[ F(p) \times (p-2)^2 \right]_{p=2} = \left[ \frac {p+2} {p-3} \right]_{p=2} =-4\)

  • Enfin, pour déterminer \(A\), on multiplie les deux expressions de \(F(p)\) par \(p\) et on fait tendre \(p\) vers \(+\infty\).

\(\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \, \left(\frac {p+2}{(p-2)^2(p-3)} \right) \times p=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,\left( \frac {A}{p-2}+ \frac {B}{(p-2)^2}+\frac {C}{p-3} \right)\times p \;\)

On trouve ainsi :\(\; 0= A+C \; \Rightarrow \; A=-C=-5\)

Conclusion : \(\boxed{ \; F(p)=\frac {5}{p-3} -\frac {5}{p-2}- \frac {4}{(p-2)^2} \;}\)

Cas 3 : il existe des pôles complexes (= racine double de D(p))

La fraction peut alors s'écrire : \(F(p)=\frac {N(p)}{(p-p_1)\underbrace{(a.p^2+b.p+c)}_{\text{Non factorisable dans }\mathbb R \text{ car } \Delta<0}}\)

Fondamental

La fraction F(p) peut se décomposer en éléments simples :

\[F(p)=\frac {A_1}{(p-p_1)}+\frac {A_2.p+A_3}{a.p^2+b.p+c} \quad \text{ avec les résidus }A_i \in \mathbb R\]

  1. La détermination du résidu \(A_1\) correspondant à un pôle simple s'effectue en utilisant la méthode correspondant au cas 1.

  2. Pour déterminer \(A_2\), on multiplie les deux expressions de \(F(p)\) (fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) par \(p\) et on fait tendre \(p\) vers \(+\infty\).

  3. Pour déterminer \(A_3\), on pose \(p=0\) dans les deux expressions de \(F(p)\) (fraction rationnelle et décomposition en éléments simples) :

\[\boxed{ \,\, A_1=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \times (p-p_1)\right]_{p=p_1} \, } \quad \boxed{ \,\, A_1+\frac {A_2} a=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty }\left[ p.\frac {N(p)} {D(p)} \right] \, } \quad \boxed{ \,\, \frac {A_1}{-p_1}+\frac {A_3} c=\left[ \frac {N(p)} {D(p)} \right]_{p=0} \, } \quad \]

Exemple

Décomposons en éléments simples la fraction suivante : \(F(p)= \frac {p+3}{(p+1)(p^2+1)}\)

\(F(p)\) possède donc un pôle réel simple (\(=-1\)) et deux pôle complexes conjugués (\(i\) et \(-i\))

On cherche donc à décomposer \(F(p)\) sous la forme : \(F(p)=\frac {p+3}{(p+1)(p^2+1)}= \frac {A}{p+1}+ \frac {B.p+C}{p^2+1}\)

  • \(A\) se détermine toujours avec la méthode vue précédemment dans le cas d'un pôle simple :

\(A =\left[ F(p) \times (p+1)\right]_{p=-1} = \left[ \frac {p+3} {p^2+1} \right]_{p=-1} =1\)

  • Pour trouver \(B\), on multiplie les deux expressions de \(F(p)\) par \(p\) et on fait tendre \(p\) vers \(+\infty\) :

\(\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \, \left(\frac {p+3}{(p+1)(p^2+1)} \right) \times p=\lim\limits_{p\rightarrow +\infty } \,\left( \frac {A}{p+1}+ \frac {B.p+C}{p^2+1} \right)\times p \;\)

Soit :\(\; 0= A+B \; \Rightarrow \; B=-A=-1\)

Enfin, pour trouver \(C\), on pose \(p=0\) dans les deux expressions de \(F(p)\) :

\(\left[\frac {p+3}{(p+1)(p^2+1)} \right]_{p=0}=\left[ \frac {A}{p+1}+ \frac {B.p+C}{p^2+1} \right]_{p=0} \; \Rightarrow \; 3=A+C \; \Rightarrow \;C=3-A=2\)

Conclusion : \(\boxed{ \; \frac {1}{p+1}+ \frac {2-p}{p^2+1} \;}\)